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初中几何知识点归纳  

2010-09-09 11:09:40|  分类: 默认分类 |  标签: |举报 |字号 订阅

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 1、审题。清楚哪些是已知,哪个是未知。
2、提高将文字叙述的命题改写成数学形式及画图的能力。
 
3、培养逻辑推理能力(顺推、倒推、倒推——顺推)。总体按“求什么      有什么      缺什么——  补什么”思考

一、求证题思考方式

从求证出发,分析要求证这个,就要有哪些条件,再看已知,有了这些条件了,还差哪个条件。然后再将差的条件证出即可。实际上是倒推的过程。具体做题时,一定要把已知的条件在图上标出,便于分析,且所有的已知到最后都要用上。

二、一般思考方向

(一)求证两线段相等

证明两线段相等的常用方法和涉及的定理、性质有:

1、三角形①两线段在同一三角形中,通常证明等角对等边;

②证明三角形全等:全等三角形的对应边相等,全等形包括平移型、旋转型、翻折型;

③等腰三角形顶角的平分线或底边上的高平分底边;

④线段中垂线性质:线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等;

⑤角平分线性质:角平分线上的点到这个角两边的距离相等;

⑥过三角形一边的中点平行于另一边的直线必平分第三边;

2、证特殊四边形①平行四边形的对边相等、对角线互相平分;

②矩形的对角线相等,菱形的四条边都相等;

③等腰梯形两腰相等,两条对角线相等;

3、等量代换:若a=b,b=c,则a=c;

等式性质:若a=b,则a-c=b-c;若 ,则a=b.

此外,也有通过计算证明两线段相等,有些条件下可以利用面积法、相似线段成比

例的性质等证明线段相等.

例:已知:如图,分别延长菱形ABCD的边AB、AD到点E、F,使得BE=DF,

连结EC、FC。求证:EC=FC。                                            



分析:要证明EC=FC,可通过证明△BCE≌△DCF(SAS)

证明 : ∵菱形ABCD,∴BC=DC,∠ABC=∠ADC,

∴∠CBE=∠CDF (等角的补角相等)

又∵BE=DF,

∴△BCE≌△DCF,

∴EC=FC.

 
 

(二)求证两角相等

方法和涉及的定理、性质:

1、同角(或等角)的余角、补角相等;

2、证明两直线平行,同位角、内错角相等;

3、到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上;

4、全等三角形、相似三角形的对应角相等;

5、同一三角形中,等边对等角,等腰三角形三线合一;

6、平行四边形的对角相等;等腰梯形同一底上的两个角相等;

7、等量代换性质.

例:已知:△ABC中,AD是高,CE是中线,DC=BE,DG⊥CE,G是垂足,



求证:⑴G是CE的中点;⑵∠B=2∠BCE.

分析:⑴已知中多垂直和中线条件,

可联想直角三角形斜边上的中线性质;

要证明G是CE的中点,结合已知条件DG⊥CE,

符合等腰三角形三线合一中的两个条件,

故连结DE,证明△DCE是等腰三角形,由DG⊥CE,

可得G是CE的中点.

⑵由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,BE=DE,∠B转化为∠EDB.

证明:⑴连结DE,

∵∠ADB=90°,E是AB的中点,

∴DE=AE=BE(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半),

又∵DC=BE,∴DC=DE,

又∵DG⊥CE,

∴G是CE中点(等腰三角形底边上的高平分底边).

⑵∵DE=DC,∴∠DCE=∠DEC(等边对等角),

∴∠EDB=∠DEC+∠DCE=2∠BCE(三角形的外角等于两不相邻内角的和),

又∵DE=BE,∴∠B=∠EDB,∴∠B=2∠BCE

直角三角形、等腰三角形等特殊三角形,其特殊性质有:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;等腰三角形三线合一的性质通常有以下变形形式:已知等腰和高、已知顶角平分线和高、已知等腰和底边中线. 特殊三角形与线段和角的相等、线段和角的倍半关系有着密切关系.

 

(三)求证两直线平行

方法和涉及的定理、性质:

1.垂直于同一直线的各直线平行。
2.同位角相等,内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。
3.平行四边形的对边平行。
4.三角形的中位线平行于第三边。
5.梯形的中位线平行于两底。
6.平行于同一直线的两直线平行。
7.一条直线截三角形的两边(或延长线)所得的线段对应成比例,则这条直线平行于第三边。

(四)求证两条直线互相垂直

方法和涉及的定理、性质:

1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。
2.三角形中一边的中线若等于这边一半,则这一边所对的角是直角。
3.在一个三角形中,若有两个角互余,则第三个角是直角。
4.邻补角的平分线互相垂直。
5.一条直线垂直于平行线中的一条,则必垂直于另一条。
6.两条直线相交成直角则两直线垂直。
7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。
8.利用勾股定理的逆定理。
9.利用菱形的对角线互相垂直。

(五)求证线段的和差倍分

方法和涉及的定理、性质:

1.作两条线段的和,证明与第三条线段相等。
2.在第三条线段上截取一段等于第一条线段,证明余下部分等于第二条线段。
3.延长短线段为其二倍,再证明它与较长的线段相等。
4.取长线段的中点,再证其一半等于短线段。
5.利用三角形的中位线、30度的直角三角形、直角三角形斜边上的中线、三角形的重心、相似三角形等。

(六)求证角的和差倍分

方法和涉及的定理、性质:

1.思路同上。
2.利用角平分线的定义。
3.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

(七)求证线段不等

方法和涉及的定理、性质:

1.同一三角形中,大角对大边。
2.垂线段最短。
3.三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边。
4.在两个三角形中有两边分别相等而夹角不等,则夹角大的第三边大。

(八)求证两角不等

方法和涉及的定理、性质:

1.同一三角形中,大边对大角。
2.三角形的外角大于和它不相邻的任一内角。

(九)证明比例式或等积式

方法和涉及的定理、性质:

1.利用相似三角形对应线段成比例。
2.利用内外角平分线定理。
3.平行线截线段成比例。
6.利用比利式化得。

(十)求证角的度数

方法和涉及的定理、性质:

1、利用多边形内角和(N-2)×180度,外角和360度。

2、三角形的性质(特别是特殊三角形性质)。

3、等量代换。

 

三、动态几何

首先要认真审题,边读题边看图并标出图形运动的方向注意运动的速度,然后要了解、把握转型运动的全过程,为下一步画图讨论做准备,接着要分阶段画图,然后利用所画图形分类讨论(抓住其中的等量关系和变量关系,并特别关注一些不变量和不变关系或特殊关系),最后再让图形运动观察思考有无遗漏的地方。

这类考题通常有多个小问,特别是要解好前面的几小问,因为它们相对简单,同时出同后面的难点相关联,分析好前几问能从中得到一些启发,即由浅入深。

四、部分常识

(一)三角形

全等条件:SSS、SAS、ASA、AAS、HL

相似条件:SSS、SAS、AA、      HL

(二)轴对称

如果一个图形沿某条直线折叠后,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形叫做轴对称图形;这条直线叫做对称轴。

1、角平分线上的点到角两边距离相等。

2、线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等。

3、角、线段和等腰三角形是轴对称图形。

4、等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合,简称为“三线合一”。

5、轴对称图形上对应点所连的线段被对称轴垂直平分。

6、轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。

(三)尺规作线段和角

1、定义:尺规作图是指只用圆规和没有刻度的直尺来作图。

2、直尺的功能是:在两点间连接一条线段;将线段向两方向延长。

3、圆规的功能是:以任意一点为圆心,任意长度为半径作一个圆;以任意一点为圆心,任意长度为半径画一段弧。

(四)其他

1、如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形

2、三角形三条中线交于一点,称为重心,且重心将中线分为1:2

3、平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似

4、梯形中位线定理  梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半 L=(a+b)÷2    S=L×h

5、经过三角形一边的中点与另一边平行的直线,必平分第三边

6、菱形面积=对角线乘积的一半,即S=(a×b)÷2

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